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逻辑代数开创电脑时代

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 楼主| 发表于 2021-12-7 12:32:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 逻辑一士 于 2021-12-8 19:55 编辑

计算机的历史常被描述为实物的历史,从算盘到巴贝奇差分机,再到二战期间的密码破译机。事实上,我们更应将计算机理解为思想的历史,而且主要是源于现代数理逻辑的思想。数理逻辑源于莱布尼茨的通用“概念语言”以及亚里士多德的逻辑系统。

一,布尔的逻辑代数
亚里士多德的逻辑公理化体系法影响了数学家欧几里得的《几何原本》(Elements)。有人估计,《几何原本》是印刷数量仅次于《圣经》的书籍。直到17世纪30年代,笛卡儿(1596~1650)的《方法论》是西方第一本普及代数符号的数学著作,比如用x、y、z代表变量,用a、b、c代表已知量,这样以几何图为主的思维转到了以代数为主的思维,从而大大扩展了几何的领域,使得少数天才的推理变成机械化的步骤。于是,笛卡儿尝试把逻辑代数化。随后诞生了数理逻辑创始人是莱布尼兹(1646-1716)。莱布尼兹揭示了关系判断的性质,扩大了演绎推理的学说,提出了使逻辑数学化的光辉思想:其目的是选出一种“通用代数”,其中把一切推理都化归为计算。这正是数理逻辑的总纲。
http://yuyannet.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6488

真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔(1815-1864),1847年他出版了《逻辑的数学分析》,建立“布尔代数”。乔治.布尔独创了符号逻辑,把逻辑变成了代数。布尔出生在英国的一个平静的小镇林肯郡,离伦敦大约120英里。他的父亲热衷于科学和数学,做着一点鞋匠生意。乔治.布尔是一个自学奇才,学了四门外语;14岁的时候,就在报纸上发表希腊诗译作。16岁时被当地一所学校聘为教师,开始读微积分的书。因收入微薄,买书只选数学书,因为“数学书看的时间可以更长一些”,结果产生了布尔代数的思想。因为做礼拜时还沉湎于数学,18岁的布尔被其所在的小学解雇了。19岁时,他创办了寄宿小学并担任校长,直到30岁之前,都以此为生。他结识了一些剑桥牛津这样高学历的人,其中有数学家、逻辑学家德.摩根。摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论,布尔知道摩根是对的,于是在1847年出版《逻辑的数学分析》为朋友辩护。它一问世,立即激起了摩根的赞扬。1854年,39岁的他出版了《思维规律的研究》,创立布尔逻辑,但没有受到人们的重视。1857年42岁,当选英国皇家学会院士。1855年40岁,娶了一个比他小17岁的女孩为妻,两人共同生活了9年,生了5个女儿,1864年49岁,布尔冒着大雨去教课,结果淋病了,得了(旧)肺炎,就去世了。20世纪初,罗素在《数学原理》中认为,“纯数学是布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的。”此说一出,立刻引起世人对布尔代数的注意。今天,布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。布尔的后代名人辈出,代代出院士,人工智能复兴的标志性人物杰弗里.辛顿就是布尔的曾曾外孙。

布尔是怎么把逻辑和代数关联到一起的?布尔早期曾把代数方法应用于被称为“算子”的对象上,例如把代数方法应用于微分算子,就可以解某些微分方程,这使布尔意识到亚里士多德的逻辑可用代数来表达:把逻辑学从人类直觉的限制中解放出来,办法就是赋予其一个精确的代数符号。布尔思考,如果把物的性质和类(集合)以符号来代替,就有了代数的形式。他用字母代表一类事物,对应逻辑的项。

当亚里士多德写出:所有人必有一死。布尔用变量x、y分别替代“人”和“必有一死”,则有:x=x*y。这个等式可以被解读为,“所有在集合x中的对象同样在集合y之中。”如果x和y分别表示两类事物,那么xy(逻辑乘)就表示既属于x又属于y的事物。他说,如果x代表“白的事物”,y代表“绵羊”,那么xy表示“白绵羊”。布尔马上想到:xx表示什么意思呢?它表示既是白的,又是白的,因此还是白的,所以xx=x。布尔发现,这个运算规则与普通代数运算规则是不同的。因为在普通代数中,x与x相乘,得出:xx=x^2。

事实上,布尔的逻辑体系就建立在这样基础上:当x表示一个类(集合)时,方程xx=x总为真。现在到了关键点,方程xx=x在什么情况下总为真?布尔的回答是:当x=0或1的时候。它们在普通代数的运算表示为0×0=0、0×1=0、1×1=1。所以,所谓布尔代数就是有关0、1二进制的普通代数。那么在逻辑体系中,0和1应表示什么呢?0表示不包含任何事物的空类,1表示包含全部事物的全类。xy表示x和y的共同分子所组成的类,运算是逻辑乘(其符号为∧)。布尔乘法有了逻辑对应物,接着看加减法。很自然,x+y表示并集,表示x和y两类所合成的类,运算是逻辑加(其符号为∨);x-y表示在x中但不在y中的事物的集合,1-x表示不在x中的事物的集合。

回到xx=x这个方程,通过移项,得:xx-x=0;再提取公因子,得:x(1-x)=0。x(1-x)=0,以逻辑语言表达就是:没有任何事物既属于给定的类x,同时又不属于类x。这是令布尔最兴奋的一个结果,因为这就是亚里士多德《形而上学》中的不矛盾律:“同一性质既属于又不属于同一个东西,这是不可能的……这是一切原理中最确定无疑的……它依其本性就是其他一切公理的来源。”x(1-x)=0或xx=x这个代数方程描述的正是作为一切公理之源的基本公理。布尔逻辑就此建立。

当x、y不是类(集合)而是命题,则x=1表示的是命题x为真;x=0表示命题x为假;1-x表示命题x的否定,等等。所以,逻辑命题可以表示如下:所有的x都是y,可以表示成x(1-y)=0。没有x是y,可以表示成xy=0。命题之间的不矛盾律为:x(1-x)=0;排中律x+(1-x)=1。一个有效三段论的例子可以表示为:
小前提:所有x都是y(xy)                   所有马都是动物
大前提:所有y都是z(yz)                   所有动物都有生命                 
结  论:所有x都是z(xz)                   所有马都有生命

根据逻辑的原则,所谓“有效”,是指忽略内容,只关注形式推导有效,即不管x、y、z是驴是马,只要两个前提为真,结论必然真。现在用布尔代数证明三段论有效:小前提说,“所有x都是y”,即x中的每一个东西都属于y,可以表示为x=xy;大前提说“所有y都是z”,即y中的每一个东西都属于z,可以写成y=yz。这样,可以得到:x=xy=x(yz)=(xy)z=xz,略去中间过程,x=xz,即“所有x都是z”。http://yuyannet.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6485

布尔证明了逻辑演绎可以成为数学的一个分支。正如罗素在《数学原理》中认为的:“纯数学是布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的。”逻辑学在徘徊2000多年之后,就此走上了数理逻辑的康庄大道。

二,逻辑代数化为数字电路http://yuyannet.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6483
起初,数理逻辑被认为是一门极抽象的学问,无用。然而,数理逻辑对计算机科学的推动在20世纪30年代达到高潮,当时,有两篇具有里程碑意义的论文问世:克劳德.香农(Claude Shannon)的《继电器与开关电路的符号分析》,以及艾伦.图灵(Alan Turing)的《论可计算数及其在判定问题上的应用》。在计算机科学的发展史中,香农和图灵是令人高山仰止的人物。1938年现代信息论创始人香农发表《继电器与开关电路的符号分析》,他说,电话交换的开、关操作与布尔代数的0、1推演相似,于是把布尔代数的真(1)、假(0)和电路系统中的开、关对应起来,优化了开关电路。这篇论文确立了计算机运算的基础,即现代逻辑代数。

开关代数是二值代数,即所有的变量和常数只取两个值之一:0或1。在物理上,它们可以代表一个灯的开和关,一个开关的合和开,一个低电压和一个高电压,一个在一个方向或另一个方向的磁场。开关代数是逻辑代数的一种应用,研究由开关的并联和串联所构成的电路的通断情况。以变元表示开关,数字0,1分别表示开关的断开与接通;3种基本运算“┐”、“∧”、“∨”(即┐、∩、∪)表示开关的基本连接方式:串联、并联、反相(反向可以用字母上加短横线也可以用'表示)。这是用代数方法解决开关线路的分析和设计问题。

电子电路分为两大类,一类是传输和处理模拟信号的电路,称为模拟电路;另一类是传输和处理数字信号的电路,称为数字电路。模拟信号是指在时间和数值上都连续变化的信号,如正弦波、三角波;数字信号是指在时间和数值上都不连续变化的离散的脉冲信号。数字信号也叫脉冲信号,持续时间短。电路中没有脉冲信号时的状态称为静态,静态时的电压值可以为正、为负或为零(一般在0v左右)。脉冲出现时电压大于静态电压值称为正脉冲,小于静态电压值称为负脉冲。

在数字电路中,存在着两种相互对立的逻辑状态,例如电位的“高”与“低”,脉冲的“有”与“无”,开关的“合”与“开”,事物的“真”与“假”等。通常用符号0和1表示两种对立的逻辑状态,称为逻辑0和逻辑1。这样就可选用各种仅具有两种状态的元件来组成各种逻辑功能的电路,如继电器、开关、二极管和三极管、集成门电路等。在逻辑电路中,有两种逻辑体制:一种用1表示高电位,用0表示低电位,这就是“正逻辑体制”。另一种是用1表示低电位,用0表示高电位,这就是“负逻辑体制”。

在逻辑电路中,电位的高、低常用高电平、低电平来描述,单位为V(伏)。由于温度变化、电源电压波动、干扰及元件特性变化等因素的影响,实际的高电平和低电平都不是一个固定数值,因此通常考虑一个电平变化范围。如果电平在此范围内,就判断为1状态或0状态。

数字电路由半导体工艺制成的若干数字集成器件构造而成。逻辑门是数字电路的基本单元。存储器是用来存储二进制数据的数字电路。每一种门电路的输入与输出之间,都有一定的逻辑关系。利用电路的输入信号反映“条件”,而用电路的输出反映“结果”,从而使电路的输出、输入之间代表了一定的逻辑关系。最基本的逻辑关系可以归结为非、与、或三种运算。逻辑运算的优先级是:非>与>或。

非门又称“非电路”,是执行“非”运算的基本逻辑门电路。当其输入端为高电平(逻辑1)时输出端为低电平(逻辑0),当其输入端为低电平时输出端为高电平。换言之,如果A=0,那么NOT(A)=1;如果A=1,那么NOT(A)=0。也就是说,输入端和输出端的电平状态总是反相的。这种逻辑关系为非运算。相当于逻辑学的负命题的真假值,用符号-、~、┐来表示非运算。┐(┐A)=A(双否得正)。

与门(AND gate)又称“与电路”、逻辑“积”、逻辑“与”电路,是执行“与”运算的基本逻辑门电路。当所有的输入同时为高电平时,输出才为高电平,否则输出为低电平。换言之,只有决定事物结果的条件(高电平)同时具备时,(高电平)结果才发生。这种关系称与运算,又称逻辑乘,结果相当于逻辑学的合取命题的真假值。A·0=0,A·1=A,A·A=A,A·┐A=0(不矛盾律)。

或门(OR gate)又称或电路、逻辑和电路,是执行“或”运算的基本逻辑门电路。只要输入中有一个为高电平时,输出就为高电平;只有当所有的输入全为低电平时,输出才为低电平。换言之,在决定事物结果的诸条件中只要有任何一个满足(高电平),结果(高电平)就会发生。这种关系称为或运算,又称逻辑加。相当于逻辑学析取命题的真假值。A+1=1,A+0=A,A+A=A,0+0=0,1+1=1,A+┐A=1(排中律)

其他复杂的逻辑关系都是由这三种基本逻辑关系组合而成的,因此可以利用基本门电路组成具有各种逻辑功能的数字电路。除基本门电路之外,常用的门电路还有与非、或非、与或非、异或、同或等门电路。所有门电路都有系列化集成电路产品供选用。

与非门(NAND gate)是数字电路的一种基本逻辑电路。当输入端中有1个或1个以上是低电平时,输出为高电平;只有所有输入是高电平时,输出才是低电平。与非门是与门和非门的结合,先进行与运算,后进行非运算,结果相当于逻辑学的联言命题的负命题的真假值。

或非门(NOR gate)是数字逻辑电路中的基本元件,实现或非功能。只有当所有输入端都是低电平时,输出才是高电平。或非门是或门和非门的结合,先进行或运算,后进行非运算,结果相当于逻辑学的选言命题的负命题的真假值。

与或非是数字逻辑电路中的基本元件,运算结果=┐(AB+CD),有9个真值、7个假值。

异或门(XOR gate,又称EOR gate、ExOR gate)是实现异或的逻辑门。若两个输入的电平相异,则输出为高电平1;若两个输入的电平相同,则输出为低电平0。异或(EOR、EX-OR)的逻辑运算符为⊕,运算法则为:0⊕0=0,1⊕0=1,0⊕1=1,1⊕1=0(同得0,异得1),这些法则与加法是相同的,只是不带进位。相当于逻辑学的不相容选言命题的真假值。

同或门(equivalencegate)也称为异或非门。当2个输入端电平相同时,输出为高电平。同或符号为⊙,运算法则为:0⊙0=1,1⊙0=0,0⊙1=0,1⊙1=1(同得1,异得0)。相当于逻辑学的充要条件命题(不相容选言命题的负命题)的真假值。

从整体上看,数字电路可以分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类。组合电路由最基本的逻辑门电路组合而成。特点是:输出值只与当时的输入值有关,即输出惟一地由当时的输入值决定。电路没有记忆功能,输出状态随着输入状态的变化而变化,类似于电阻性电路,如加法器、译码器等。时序逻辑电路简称时序电路,它是由最基本的逻辑门电路加上反馈逻辑回路(输出到输入)或器件组合而成的电路,与组合电路最本质的区别在于时序电路具有记忆功能。时序电路的特点是:输出不仅取决于当时的输入值,而且还与电路过去的状态有关。它类似于含储能元件的电感或电容的电路,如触发器、锁存器、计数器、移位寄存器、储存器等电路都是时序电路的典型器件。

数字电路有如下特点:1)数字电路只有与、或、非三种基本电路,简单。布尔代数的的逻辑运算可将电子元件组成三种“门电路”(与门、或门、非门)模块,即逻辑元件。利用三种最基本的逻辑元件可以组成各种复杂的逻辑关系网,如果逻辑网络由几千万个电子元件组成,就构成了计算机的硬件基础——集成电路。2)数字集成电路体积小、功耗低,是电脑的基本电路。数字电路是根据脉冲信号的有无、个数、频率、宽度来进行工作的,而与脉冲幅度无关,所以抗干扰能力强,准确度高。以矩形波表示的数字信号只有高、低电平两种状态,可以利用晶体管的开关特性来实现,因此数字电路的基本元件比较简单,且适于集成化和批量生产。3)信息传播的准确率高。由于数字电路只取0,1,对于正逻辑体制,0代表低电平,1代表高电平,其中电压在0~1V范围称为低电平,3~5V范围称为高电平。数字电路的1,0对应逻辑上的真与假,所以数字电路也叫做逻辑电路。信号在传输过程中,不可避免会引入噪声,对于模拟信号,很难完全将噪声消除,而对于数字信号,即使电压偏差一点点,只要在3~5V之间,就可以认为是1,完全没有失真。4)电子器件有逻辑思维能力,能解决人难以完成的任务。

三,电脑革命和互联网时代

1938年现代信息论创始人香农发表《继电器与开关电路的符号分析》后,研究人员在计算机的物理层面取得了长足进步,其中包括贝尔实验室的威廉.肖克利(William Shockley)及其同事在1947年发明了晶体管。晶体管是香农继电器的大幅改进版,也是在物理层进行布尔运算的最著名方式。在之后的70年里,半导体行业在越来越小的空间中集成了越来越多的晶体管。2016年款的iPhone拥有约33亿个晶体管,每一个都相当于香农在论文中描述的“继电器开关”。

图灵则揭示了如何用数理逻辑的语言来设计计算机。图灵所属学派的渊源可追溯到莱布尼茨和弗雷格。在布尔代数的启发下,弗雷格发明了一种更加先进的逻辑系统。如今,哲学和计算机课堂上教授的逻辑学——一阶逻辑或谓词逻辑——只是对弗雷格的系统稍作了修改。弗雷格逻辑的主要创新在于,它更准确地反映了日常语言的逻辑结构。此外,弗雷格还率先使用了量词,并头一次把宾语从谓语中分离出来。

当图灵1936年发表《论可计算数及其在判定问题上的应用》时,他试图解决“判定问题”。该问题由数学家大卫.希尔伯特(David Hilbert)首次提出,他想知道,是否存在一种算法,可以判定任意数学命题的真伪。图灵为了严格地用公式来表示判定问题,构建了一个日后将演化为计算机的数学模型。如今,符合这个模型的机器被称为“通用图灵机”。接着,图灵演示了程序以及数据是如何存储在计算机之内的。如果使用如今的词汇,我们会说,他发明了为大多数现代计算机提供支撑的“存储程序”结构。图灵第一个证明,任何可以编码到硬件中的计算逻辑也可以编入软件代码中。后来,图灵描述的这种结构被称为“冯.诺伊曼结构”,不过,近代史学家普遍认为它来源于图灵。

在香农和图灵提出了开创性的观点后——这些观点揭示了电路、逻辑和计算之间的联系——研究人员已有可能把这种新的概念机应用于计算机设计。第二次世界大战期间,这一理论被付诸实践。当时,美国政府实验室征召了一批逻辑学精英,冯.诺依曼加入了在美国洛斯阿拉莫斯实施的原子弹计划,在那里研究计算机设计,为物理学提供支持。1945年,冯.诺依曼写出了EDVAC的设计规范,EDVAC是有史以来第一台以逻辑为基础的存储程序计算机。人们普遍认为,EDVAC为现代计算机的设计奠定了基础。图灵则加入了英国布莱切利园的一个秘密单位,他在那里参与设计的计算机成功破解了德军密码。图灵对实用计算机设计最为持久的贡献是确立了ACE(自动计算引擎)规范。

1946年,冯诺依曼设计的第一台电子数字计算机(ENIAC) 终于问世了,这是由美国陆军兵器局出资由弹道研究所出技术研制成的,主要应用于弹道计算。当时的ENIAC机仅用30秒钟就出色地完成了从发射到击中目标飞行了一分钟的弹道计算,被称为“比子弹还快”的超人。在这台电子计算机的设计中,冯诺依曼提出了他一整套的设计思想与原则,因而被称为冯诺依曼机。该机的运算速度每秒钟5000次,比当时的继电器计算机快1000倍。冯诺依曼也由于他的杰出卓越贡献而获得“计算机之父”的桂冠。

起初,逻辑学是作为一种理解思维规律的方式;之后,它帮助创建了可以依照演绎逻辑进行推理的机器;如今,演绎逻辑和归纳逻辑正在融合,创造出既可以推理又可以学习的机器。如今最具潜力的机器学习技术使用了神经网络,而神经网络是1940年代发明的。发明者当时想为神经元开发一种微积分学,使其能够像布尔逻辑一样,用来构建计算机电路。在统计技术的帮助下,它们可以馈入更多数据,从而获得改进。近年来,随着计算机处理大数据集的能力越来越强,这些技术已经带来了令人惊叹的成果。未来,编程可能意味着,把世界展示在神经网络前,让神经网络自己去学习。从最初布尔所说的“为探究人类思维的本质与构造”,到如今,现代计算机的发展,有朝一日,人类或许会创造出一种新的思维,一种能够媲美甚至超越自身的人工思维。

1940年代末50年代初揭幕的第三次科技革命一直延续至今。新科技革命以电脑迅猛发展为标志,主要包括信息技术、生物工程技术、新材料技术、海洋技术、空间技术五大领域。晶体管和大规模集成电路,极大地降低信息传播的费用,其结果是:人类社会从工业时代进入了信息时代。1946年第一台电子计算机诞生,1957年第一颗人造卫星升空,开辟了航天时代;1969年阿波罗号飞船使人类第一次在月球上留下足迹;1983年第一个机器人在联邦德国大众汽车股份公司投入服务;1989年互联网出现,一个全新的网络时代从此迅猛发展。美国著名数学家马丁.戴维斯撰写的《逻辑的引擎》一书,详细展示了逻辑在计算机科学中的作用。自1980年代开始,美国国家科学基金联合康奈尔大学、宾夕法尼亚大学以及卡内基梅隆大学编辑出版了“计算机科学与应用逻辑进展”丛书,充分展示了逻辑之于计算机科学应用的成就。
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 楼主| 发表于 2022-2-3 21:44:18 | 显示全部楼层
国足完败越南, 范志毅预言成真, 一人可昂首离开, 想
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 楼主| 发表于 2022-2-10 11:09:01 | 显示全部楼层

,是执行“与”运算的基本逻辑门电路。
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 楼主| 发表于 2022-2-14 07:33:02 | 显示全部楼层
傅斯年:“中国文字的起源是极野蛮,形状是极奇异,认识是极不便,应用是极不经济,真是又笨、又粗、牛鬼蛇神的文字,真是天下第一不方便的器具。”
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 楼主| 发表于 2022-2-25 06:25:33 | 显示全部楼层
多么黑暗、多么残酷、多么血腥、多么荒诞的时代
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 楼主| 发表于 2022-4-6 13:22:46 | 显示全部楼层
https://iflydocs.com/h/s/doc/NXubX2f7mTgtVE3I《缘木求鱼的熊飞骏》,来自讯飞文档
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 楼主| 发表于 2022-4-18 21:48:44 | 显示全部楼层
雷格论含义与指称
https://iflydocs.com/h/s/doc/oqfSOx3Sf9OPoEKd
数理逻辑开创信息时代
https://iflydocs.com/h/s/doc/PjQqf0AUFZjzUFqC
逻辑创造了计算机
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 楼主| 发表于 2022-4-21 08:31:41 | 显示全部楼层
基辅的陷落于成吉思汗死后
https://iflydocs.com/h/s/doc/UkhFcE3pag5YOhQt
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