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反证法与归谬法

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 楼主| 发表于 2022-2-22 16:40:07 | 显示全部楼层 |阅读模式

一,反证法

反证法是一种间接论证方法,是从肯定题设而否定结论即a∧┐b,经过推理导出矛盾,从而证明原命题的方法。其步骤为:首先提出论题a→b:然后设定反论题┐(a→b ),并依据推理规则进行推演,证明反论题假;最后根据排中律,既然反论题为假,则原论题真。反证时,只有与论题相矛盾的命题才能作为反论题,论题的反对命题是不能作为反论题,因为具有反对关系的两个命题可以同时为假。

反证法的推演过程如下:
1)求证:P(原命题)
2)证明:假设前提┐P(负命题),按推理规则推理,推出矛盾或荒谬。即:
┐P→Q∧┐Q
┐(Q∧┐Q)
所以,┐(┐P)
所以,P

百度在“反证法”词条里说:反证法可以简要的概括为“否定得出矛盾→否定”。即可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。又是为野蛮愚昧的辩证法抬轿子的胡说。上面过程出现了3次否定,岂能归功于辩证法?

当直接证明难以奏效时,反证法是比较便捷的方法。例如证明:素数有无数个。华人从来没有人想过这样的问题。这古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(约前330~约前275)在他的不朽著作《几何原本》里证明的。

假设命题假,则素数的个数是有限的,设所有素数的个数为n,最大的素数是Pn。把所有n个素数都乘起来,其乘积S=P1.P2……Pn。

现在问S+1是否为素数?如果S+1是素数,那么,就会有了n+1个素数,因此,反论题不成立,于是素数的个数是无限的。如果S+1不是素数,那么必定可以被一个素数P整除,而P一定不是原先这n个素数中的任何一个,因为用原先任何一个素数做除数都会有余数1。于是,至少有n+1个素数。也就是说,反论题不成立。因此,不论S+1是不是素质,反论题都不成立。

证明:√2是无理数。
假设:√2是有理数,它必然可写成两个整数之比的形式:√2=p/q。再假设p和q没有公因数,所以,p/q为最简分数。把√2=p/q两边平方得 2=p2/q2,即 2q2=p2,由于2q2是偶数,p必定为偶数。因此可设p=2s,由2q2=4s2,得:q2=2s2。由于2s2是偶数,则q2是偶数,而只有偶数的平方才是偶数,所以q必然为偶数。既然p和q都是偶数,它们必定有公因数2,这与前面假设p/q是最简分数矛盾。根据不矛盾律,结论与前提冲突,则前提就是错的;即√2是有理数错了。“√2要么是有理数,要么是无理数。√2不是有理数,所以,√2是无理数。”这里运用了排中律。

论题:结论全称的三段论的中项不两次周延。
证明:假设:结论全称的三段论的中项两次周延。一个三段论如果结论全称,则结论的主项即小项在结论中周延,根据规则,则小项在前提中必须周延,这样,前提中有三个周延的项,因此两个前提都必须全称,并且有一个前提还必须否定(注意:全称命题的主项周延,否定命题的谓项周延,2全称1否定,提供了3个周延的词项)。根据规则,由于前提中有一个否定,结论必须否定,结论的谓项即大项在结论中周延;再根据规则,大项必须在前提中周延。于是,小项、大项和两个中项都必须在前提中周延,即前提中四个词项都得周延,这需要两个前提都是全称否定才能保证4个周延。而根据规则,两个否定前提不能得出结论。因此,为了得出正确的结论,一个结论全称的三段论的中项不能两次周延。

反证推理模式如下:
[┐A] [┐A]


B     ┐B
------------
A
表示若从假设前提┐A可以推演出B和┐B,则可得出结论A。

反证法公式:(┐A→B)∧(┐A→┐B)=A
证明:由于:(X+C)(X+┐C)=X,
所以,(┐A→B)∧(┐A→┐B)
     =(A∨B)∧(A∨┐B)
     =(A十B)(A十┐B)=A.证毕。
  
试证明:(┐a→b)∧(┐a→┐b)→a为永真式。
解:(┐a→b)∧(┐a→┐b)→a
=(a∨b)∧(a∨┐b)→a
=┐((a∨b)∧(a∨┐b))∨a
=┐(a∨b)∨┐(a∨┐b)∨a
=(┐a∧┐b)∨((┐a∧b)∨a)
=(┐a∧┐b)∨(┐a∨a)∧(b∨a)
=(┐a∧┐b)∨b∨a
=(┐a∨b)∧(┐b∨b)∨a
=(┐a∨b)∨┐a
=1∨b=1。证毕。
论条件证明
https://kdocs.cn/l/coiWTA4Q1dwf

二.归谬法
归谬法是从被反驳的论题推出矛盾,再由否定矛盾进而否定被反驳论题的方法。

其步骤是:首先,假设被反驳的论题真;然后,以它为前件推出后件,构造一个蕴含命题。而这一命题的后件是错的;因此否定后件进而否定前件,从而达到反驳的目的。例如:“施肥越多,庄稼长得越好。如果施肥过多的话,会导致土壤溶液的浓度过高,这个时候,就会烧伤根系,让庄稼枯萎,怎么会是长得越好呢?”在这个反驳的过程中,先是假设对方的观点是正确的,然后通过推理却得到了“庄稼枯萎”的相反结论,从而反驳了“施肥越多,庄稼长得越好”的观点。


归谬法是根据某一命题蕴涵着矛盾,推断该命题为假的推理。其公式为:
被反驳的论题:P。
如果p,那么q;如果p,那么非q;
“q并且非q”永假,
所以,非p即P假。

这个推理形式的意思是:如果从一个假设能够合乎逻辑地导出互相矛盾的两个结果来,则原来的假定不能成立。

归谬式推理也是一种与二难推理相似的推理。其形式是:

如果从一个命题可以引出矛盾,那么就可以否定这个命题。其公式是:如果p,则q;如果p,则非q;所以,非p。

例如:对“一切判断都是假的”的批驳:如果“一切判断都是假的”这一判断是真的(p),则“一切判断是假的”(q)。如果“一切判断都是假的”这一判断是真的(p),则并非“一切判断是假的”(即有的判断不是假的)(非q)。所以,“一切判断都是假的”不是真的(非p)。

又如:如果物体下落的速度与重量成正比,那么重物与轻物连在一起的降落速度大于重物(因为两物重量之和大于重物),并且重物与轻物连在一起的降落速度不大于重物(因为两物的合速不会比速度大者更大)。所以,物体下落的速度与重量不成正比。

再如,“如果你能发明一种能溶解一切物品的溶液,那么就得有一种器皿来盛放它(因为液体总得有容器盛放);如果你能发明一种能溶解一切物品的溶液,那么就没有一种器皿能盛放它(因为任何器皿都会被它溶解);所以,你根本不能发明一种能溶解一切物品的溶液”。

归谬律推理模式
[A]  [A]


B   ┐B
------------
┐A
表示若从假设前提A可以推演出B和┐B,则可得出结论┐A。


归谬律公式:(A→B)∧(A→┐B)=┐A
证明:由于:(X+C)(X+┐C)=X,
     (A→B)∧(A→┐B)
     =(┐A∨B)∧(┐A∨┐B)
     =(┐A十B)(┐A十┐B)=┐A.证毕。

试证明:(a→b)∧(a→┐b)→┐a为永真式。
解:(a→b)∧(a→┐b)→┐a
=(┐a∨b)∧(┐a∨┐b)→┐a
=┐((┐a∨b)∧(┐a∨┐b))∨┐a
=┐(┐a∨b)∨┐(┐a∨┐b)∨┐a
=(a∧┐b)∨((a∧b)∨┐a)
=(a∧┐b)∨(a∨┐a)∧(b∨┐a)
=(a∧┐b)∨b∨┐a
=(a∨b)∧(┐b∨b)∨┐a
=(a∨b)∨┐a
=a∨b∨┐a=1。证毕。


三,归谬法与反证法区别
其联系在于:反证法由确定反论题假而间接地确定原论题真时,常常运用归谬法;归谬法是为反证法服务的。二者的区别在于:
第一,二者的目的不同。反证法用于论证,它的目的在于确定某一判断的真实性;归谬法用于反驳,它的目的在于确定某一判断的虚假性。

据冯梦龙《古今笑史·塞语部》记载:东汉南昌人徐孺子十一岁的时候,有一次同太原人郭林宗出游,游毕回到郭家时,因郭宅庭中有一树,郭欲将树伐去。郭伐树的理由是:“为宅之法,正如方口,口中有木,困字不详。”徐孺子对此进行了反驳。如果宅中有树,有不详的“困”字,就要把树砍去的话,那么“为宅之法,正如方口,口中有人,囚字何殊?”意思是:如果因“困”字不祥要砍树,岂不是要因为“囚”字不祥而把家中人杀掉吗?这是归谬法运用。

第二,二者的结构不同。反证法的结构比归谬法的结构复杂,反证法需要设与被论证论题的反论题(相矛盾的或相反对的论题)真;归谬法不需要设反论题。

芝诺以反证法证明“不存在运动”。假设“存在运动”即从A点运动到B点,就意味着你先要经过AB距离的1/2,而这又意味着你先要经过这个1/2距离的1/2,由此类推,你要经过无穷个1/2的距离(这和“一尺之捶日取其半万世不竭”同),但是你的时间是有限的。而有限的时间里无法经过无限多段的距离,所以“不存在运动”。

二百年后,阿基米德在计算抛物线面积时发现,在这个弓形里做一个内切三角形,设其面积为1,那么整个抛物线弓形的面积=1+1/4+1/16+1/64+……。他假设1+1/4+1/16+1/64+……不等于4/3,无论是从大于的层面还是从小于的层面推理,都会导致矛盾。既然如此,这个数列的和=4/3。阿基米德的方法属于归谬法。

第三,二者的根据不同。反证法需要运用排中律,由确定反论题假进而间接地确定原论题真。因为:反论题与原论题具有矛盾关系,根据排中律,不能同假,必有一真。所以,反证法是通过论证与原论题相矛盾的论题的假,进而确定原论题的真。

归谬法不用排中律,它是根据充分条件假言三段论推理的否定后件式直接推出被反驳的论题假。例:儿童们纷纷去摘路边的李树果子。幼儿以为:“李子是甜的,李子应被摘”。只有7岁的王戎不摘。问其故,答曰:“树在道边而多子,此必苦李。”小伙伴尝了一下,果然是苦的。王戎的推理是:如果李子是甜的,路边的李子早被摘了。路边的李子无人摘,所以不甜。其推理形式是:A→B=非B→非A”。
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 楼主| 发表于 2022-3-1 11:31:47 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2022-3-3 15:40:49 | 显示全部楼层
再谈读前有感和读后无感——对王路先生回应的回应
邓晓芒说
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 楼主| 发表于 2022-3-4 07:03:43 | 显示全部楼层
巅峰对决|辩证法之辩
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 楼主| 发表于 2022-4-12 01:10:10 | 显示全部楼层
合取、析取的规律
https://iflydocs.com/h/s/doc/0bPgUjvpSady2gqM
讯飞文档
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 楼主| 发表于 2022-4-27 05:49:53 | 显示全部楼层
如何让你遇见我
在我最美丽的时刻为这我已经在佛前求了五百年
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 楼主| 发表于 2022-5-4 19:57:21 | 显示全部楼层
所以不要ui
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 楼主| 发表于 2022-5-10 21:54:56 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2022-5-18 22:08:09 | 显示全部楼层
人是万物的尺度
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