非常有趣的现象。终于发现一个奇妙的景观，展现出数字关系的神奇。把各组数字罗列后，相邻两个数字的【n³+n²】之差，就在数字的排列组合中展现了。
n³+n²=n×n×
n×n×当n=1时
1×1×2，1三+1二=2
n×n×当n=2时
2×2×3，2³+2²=12
1×1×2=2
2×2×3=12
12-2=10
10这个差额，竟然就隐藏在
1×1×2
2×2×3 这两个因式里。
我发现：
1×1×2
2×2×3 式子中，先把上下对齐的三组两数相乘。然后将三个积相加。就是两式的差。
1×2+1×2+2×3
=2+2+6
=10
2×2×3=12
3×3×4=36【36-12=24】
2×3+2×3+3×4
=6+6+12
=24
3×3×4=36
4×4×5=80【80-36=44】
3×4+3×4+4×5
=12+12+20
=44
4×4×5=80
5×5×6=150【150-80=70】
4×5+4×5+5×6
=20+20+30
=70
5×5×6=150
6×6×7=252【252-150=102】
5×6+5×6+6×7
=30+30+42
=102
6×6×7=252
7×7×8=392【392-252=140】
6×7+6×7+7×8
=42+42+56
140
7×7×8=392
8×8×9=576【576-392=184】
7×8+7×8+8×9
56+56+72
184
8×8×9=576
9×9×10=810【810-576=234】
8×9+8×9+9×10
=72+72+90
=234
9×9×10=810
10×10×11=1100【1100-810=290】
9×10+9×10+10×11
=90+90+110
=290
，，，，，，，，，
本帖最后由 缙云王旭龙 于 2022-8-18 19:47 编辑
整数数列中，任意一组相邻两数的3次幂值+2次幂值之和的数差求差公式：
【³+²】－【n³+n²】=
【××】－【n×n×】=
×n + ×n +×
求差公式
【³+²】－【n³+n²】= 2×n + ×
验算【1】
n=1，=2
【³+²】－【1³+1²】= 2×1 + ×
【8+4】－【1+1】= 4 + 3×2
10=10
验算【2】
n=2，=3
【³+²】－【n³+n²】= 2×n + ×
【³+²】－【2³+2²】= 2×2 + ×
【3³+3²】－【2³+2²】= 2×3×2+ 4×3
36－12=12+12
24=24
验算【3】
n=3，=4
【³+²】－【n³+n²】= 2×n + ×
【4³+4²】－【3³+3²】= 2×3 + ×
80－36= 24+ 20
44=44
验算【4】
n=4，=5
【³+²】－【n³+n²】= 2×n + ×
【³+²】－【4³+4²】= 2×4 + ×
【5³+5²】－【4³+4²】= 2×5×4 + 6×5
150－80= 40 + 30
70=70
验算【5】
n=5，=6
【³+²】－【n³+n²】= 2×n + ×
【³+²】－【5³+5²】= 2×5 + ×
【6³+6²】－【5³+5²】= 2×6×5 + 7×6
【6³+6²】－【5³+5²】= 2×6×5 + 7×6
252-150=60+42
102=102
验算【6】
n=6，=7
【³+²】－【n³+n²】= 2×n + ×
【³+²】－【6³+6²】= 2×6+ ×
【7³+7²】－【6³+6²】= 2×7×6+ 8×7
392-252=84+56
140=140
验算【7】
n=7，=8
【³+²】－【n³+7²】= 2×n + ×
【³+²】－【7³+7²】= 2×7+ ×
【512+64】－【343+49】= 112+ 72
184=184
，，，，，，根据我总结出来的【数首法则】，无须再多验算，整数数列中，任意一组相邻两数的3次幂值+2次幂值之和的数差求差公式：
【³+²】－【n³+n²】= 2×n + ×
成立。
我已经不知道自己一共写了几个公式。
n÷6【别人写的】
只适用自然数列从1至n的若干个数的段落，可以求出自然数段各数2次幂值，1²+2²+3²+，，，，，n²的和。
依据上面的模式，我用5分钟时间，写出：求2²+4²+6²+8²+，，，，，，，+n²。偶数数段各数2次幂值之和的求和公式：
n÷12
2²+4²=20
n=4
n÷12
4÷12
24×10÷12=
240÷12=
20
2²+4²+6²=56
n=6
n÷12
6÷12
48×14÷12=
672÷12=
56
偶数=整数×2
2²+4²+6²+8²=120
n=8
n÷12
8÷12
80×18÷12=
1440÷12=
120
n÷6【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】别人写的
n÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】我写的
依据别人的：n÷6
我写出了偶数数段各数的2次幂值之和的求和公式：n÷12
之后就着手写奇数数段各数的2次幂值之和的求和公式。
开始写出的因式，符合1²+3²，放到1²+3²+5²就不行了。
符合1²+3²+5²的，放到1²+3²又不行了。
没找到问题的关键，才会这样东不成西不就。
于是我想，奇数数列是去掉偶数的数列，那么反映在【奇数数段各数的2次幂值之和】上的关键，是要在整数数列的2次幂值和的基础上，减去偶数2次幂值。
于是在早上上班前，我在n÷6中的【六倍值】n基础上，增加一个减项：-
n【-】÷6
代入验算时，1²+3²行，1²+3²+5²也行。应该是对了。
慌忙上班去，等偷懒时再继续验算。
在偷懒验算的过程中，又发现一个奇妙现象。
n【-】÷6
n=3时，
3××【-】÷6
3×4×【7-2】÷6
3×4×5÷6
60÷6=10
1²+3²=10
n=5时
1²+3²+5²=1+25=35
5×6×7÷6
210÷6=35
n=7时
1²+3²+5²+7²=35+49=84
7×8×9÷6
504÷6=84
奇妙之处：
3×4×5÷6
5×6×7÷6
7×8×9÷6
于是公式可以写成：n÷6
因为-=n+2
这样
在别人的n÷6【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】
的开导下，我写出了：
n÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】
n÷6【求1开始的奇数数段各数2次幂值之和】
整数，n÷6
偶数，n÷12
奇数，n÷6
三种数段各数的2次幂值之和的求和公式就齐全了。
本帖最后由 缙云王旭龙 于 2022-8-28 19:58 编辑
下班路上想起：a+b，a²+b²，a³+b³，之间的三者关系，已经有了一种
m÷n+a×b=a²+b²
即：÷+a×b=a²+b²
还可怎么写。
于是晚饭后开始思考，写出：
-【a²×+b²×】=a²+b²
验算：今天是农历8月初2。设a=8，b=2。
8²=64，8³=512，2²=4，2³=8，8³+2³=520，8²+2²=68
-【a²×+b²×】=a²+b²
-【8²×+2²×】=8²+2²
-【64×7+4×1】=64+4
520-【448+4】=64+4
520-452=64+4
68=68
÷2-a×b=a+b
验算，同样设a=8，b=2。
÷2-a×b=a+b
÷2-8×2=8+2
÷20-16=8+2
520÷20-16=8+2
26-16=8+2
10=10
÷+a×b-【a×+b×】=a+b
÷+8×2-【8×+2×】=8+2
520÷10+16-【56+2】=8+2
52+16-58=8+2
68-58=8+2
10=10
-【a²×+b²×】-【a×+b×】=a+b
-【8²×+2²×】-【8×+2×】=8+2
-【64×7+4×1】-【56+2】=8+2
520-452-58=8+2
10=10
【-a×b】×=a³+b³
【-8×2】×=8³+2³
【-16】×=8³+2³
【68-16】×=8³+2³
52×10=512+8
520=520
×【-a×b】=a³+b³
×【-8×2】=8³+2³
×【-16】=8³+2³
10×52=512+8
520=520
a+b，a²+b²，a³+b³，之间的三者关系：
÷2-a×b=a+b
÷+a×b-【a×+b×】=a+b
-【a²×+b²×】-【a×+b×】=a+b
÷+a×b=a²+b²
-【a²×+b²×】=a²+b²
【-a×b】×=a³+b³
×【-a×b】=a³+b³
a+a²+a³=a
验算：a=1
a+a²+a³=a
1+1²+1³=1
1+1²+1³=1
1+1²+1³=1×3=3
a=2
a+a²+a³=a
2+2²+2³=2
2+4+8=2
14=2×7=14
a=3
a+a²+a³=a
3+3²+3³=3
3+9+27=3
39=39
a=4
a+a²+a³=a
4+4²+4³=4
4+16+64=4
84=84
a=5
5+5²+5³=5
5+25+125=5
155=5=155
a=6
a+a²+a³=a
6+6²+6³=6
6+36+216=6
258=6=258