文理通，文序顺，文体齐，文韵谐的诗经作品

缙云王旭龙

整数数列里，各数之间的2次幂值之差：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，，，，，，，，
1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，，，，，，
3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，，，，，
求差公式，自然数后位数-前位数=差：
自然数前位数的2倍加1，写作：n×2+1
n²与[n+1]²
3²=9
4²=16
16-9=7
7=3×2+1

【各数的2次幂】
1²，2²，3²，4²，5²，6²，7²，8²，9²，10²，11²，12²，13²，，，，，，，，
【各数的2次幂值】
1，   4，    9，   16，  25，36，  49，  64，  81， 100，  121， 144， 169，，，，，，

求a6与a7的差，a6即6²，a7即7²
6×2+1=13
36+13=49
7×7=49
a7：7的2次幂值49

各自然数的2次幂值数列的通项公式
an=[an-1]²+2[n-1]+1

例，求a7项7的2次幂值49
an=[an-1]²+【2[n-1]+1】
a7=[a7-1]²+【2[7-1]+1】
a7=49
49=6²+【6×2+1】
49=36+【12+1】

开始以为通项公式与求差各数是一样的，现在知道二式不同。
2n+1
求差公式


an=[an-1]²+2[n-1]+1
通项公式

缙云王旭龙

三个连续自然数之和是m，求该三个数。
一般设n-1，n，n+1。设a2为n。
m÷【[n-1]+n+[n+1]】-1与+1抵消掉3n=m
m÷3=n  是【a2】的值
若[n-1]+n+[n+1]=15
15÷3=5【a2】
5-1=4【a1】
5+1=6【a3】
4【a1】,5【a2】,6【a3】


如果四个连续自然数之和是m，求该四个数。就要把a1设为n
n，n+1，n+2，n+3
【m-[1+2+3]】÷4=n   是【a1】的值
n，n+1，n+2，n+3

n+[n+1]+[n+2]+[n+3]=34
34-[1+2+3]=28
28÷4=7【a1】
7+1=8【a2】
7+2=9【a3】
7+3=10【a4】

缙云王旭龙

我已经知道了[a+b]²=a²+b²+2ab
这是两个数的算题。
如果是3个数的，关系式是什么样？我写出以下代数式子：
[a+b+c]²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
验算【1】代入a=1，b=3，c=5【1+3+5=9】
[1+3+5]²=1²+3²+5²+1×3×2+1×5×2+3×5×2
81=1+9+25+6+10+30=81


[a+b+c]²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc验算【2】
代入a=2，b=3，c=4【2+3+4=9】
[2+3+4]²=2²+3²+4²+2×3×2+2×4×2+3×4×2
81=4+9+16+12+16+24=81

[a+b+c]²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
验算【3】
代入a=2，b=4，c=6【2+4+6=12】
[2+4+6]²=2²+4²+6²+2×4×2+2×6×2+4×6×2
144=4+16+36+16+24+48=144

缙云王旭龙

四个不同数之和的二次幂值与四个不同数的二次幂值之和的关系
[a+b+c+d]²=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
[a+b+c+d]² - 【a²+b²+c²+d²】=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

【验算】a=2，b=3，c=4，d=5。2+3+4+5=14，14×14=196
a²=4，b²=9，c²=16，d²=25。4+9+16+25=54
196-54=142

2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
2×3×2=12+
2×4×2=16+
2×5×2=20+
3×4×2=24+
3×5×2=30+
4×5×2=40=142

缙云王旭龙

2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd是经过整理后的因式6个
用画方格子的方法。得出的因式是12个，每个数都与其他三数相乘一次。
【1】a×b   a×c   a×d
【2】b×a   b×c   b×d
【3】c×a   c×b   c×d
【4】d×a   d×b   d×c
a×b+b×a=2ab
a×c+c×a=2ac
a×d+d×a=2ad
b×c+c×b=2bc
b×d+d×b=2bd
c×d+d×c=2cd
12式综合成6式，每个数由出现6次，缩小为出现3次。

画方格子显示的效果是：
a×a+a×[b+c+d]
b×b+b×[a+c+d]
c×c+c ×[a+b+d]
d×d+d×[a+b+c]

缙云王旭龙

几多个数之和的2次幂值=各数分别与几多个数之和的乘积的总和

如[a+b+c+d+e+f+g]²=
a×[a+b+c+d+e+f+g]+
b×[a+b+c+d+e+f+g]+
c×[a+b+c+d+e+f+g]+
d×[a+b+c+d+e+f+g]+
e×[a+b+c+d+e+f+g]+
f×[a+b+c+d+e+f+g]+
g×[a+b+c+d+e+f+g]

=[a+b+c+d+e+f+g]×[a+b+c+d+e+f+g]

缙云王旭龙

有个题：
a×b=80
b×c=120
a×c=96
求a+b+c=？
这题其实是求a=n、b=N、c=几。
老师绕来绕去做了一番十来个转换因式的推演。
我看着就晕了。

我【利用公约数的道理：某数可以整除诸数，则某数为诸数的公约数。】
把
a×b=80
b×c=120
调换一下，成
a×b=80
c×b=120
就能发现b,b是相同的数值，b是80与120的公约数
80÷10=a:8
120÷10=c:12
b：10【10是80与120的公约数】
就出来了
a×c=96
8×12=96

b×c=120÷12=10
a×c=96÷12=8【12是120，96的公约数】

a×b=80÷10=8
a×c=96÷12=8
【a：8，8是80与96的公约数】


以另外数组验算【以1、2两组因式】
a×b=21
b×c=56
a×c=24

a×b=21÷3=7:b
c×b=56÷8=7:b
a:3
c:8
a×c=24


【以2，3两组因式】
【1】a×b=21

【2】b×c=56÷7=8:c
【3】a×c=24÷3=8:c
b:7
a:3

a=3，b=7，c=8
【以1，3两个数组验算】
a×b=21÷7=3：a
a×c=24÷8=3：a
【a:3是b：21，c：24的公约数】

缙云王旭龙

网上的美国竞赛题
a+b=n【n是题目给出的已知条件】
a³+b³=m【m是题目给出的已知条件】
求a²+b²的值
经过我的推敲，得出结论：
a²+b²=m÷n+a×b
验算
a=8，8³=512
b=27，27³=19683
a+b=8+27=35=n
8³+27³=19683+512=20195=m
a²+b²=m÷n+a×b
8²+27²=20195÷35+8×27
64+729=577+216
793=793

缙云王旭龙

又是百度题：a,b,c,d是不同的四数。a×b×c×d=441。求四数之和？
我没看讲解就给出答案：32。
a,b,c,d,    分别是 3，7，21，1。
21×21=441
21×3×7×1=441



3+7+21+1=32
果然如此。

缙云王旭龙

百度里的美国竞赛题
a+b=9
a³+b³=99
求a²+b²的值
老师最后给出的答案是：11+ab
老师没有交代11这个实数的来源，我猜应该是99÷9=11是这样来的

1+8，2+7，3+6，4+5，和值都是9，但1×1×1+8×8×8，2×2×2+7×7×7，3×3×3+6×6×6，4×4×4+5×5×5，的值都大于99。
1³+8³=513，2³+7³=351，3³+6³=243，4³+5³=198，
由于9与99两个数，是随意乱设，相除可以是11，但没有与9，99两个数相关的a，b正整数值。

我改换题目的数值为
a+b=7
a³+b³=91
求a²+b²的值
改9与99两个实数为7与91后，91÷7=13。与竞赛题的99÷9=11仍然可以对应。

当a=3，b=4时
a+b=7：
3³+4³=27+64=91
求a²+b²的值：
3²+4²=25
a×b=12
25-12=13
13+3×4=25
老师最后给出的答案是：11+ab。但无法给出a，b的正整数实值
而我可以给出的答案是：13+ab。a=3，b=4
13+3×4
=13+12
=25
有了对应题目可以验算的实数，问题就容易理解。


根据11+ab，13+ab的范例提示，我写出：【开始写错为：[a³+b³]÷[a+b]×[a×b]=a²+b²】
[a³+b³]÷[a+b]+[a×b]=a²+b²
[3³+4³]÷[3+4]+[3×4]=3²+4²
91÷7+12=9+16
13+12=9+16
25=25

a+b=7
a³+b³=91
得a²+b²的值25

有了，
[a³+b³]÷[a+b]+[a×b]=a²+b²，
这样的代数式，就可以代入实数，求得a²+b²的值

【设a=5，b=7进行验算】
[a³+b³]÷[a+b]+[a×b]=a²+b²
[5³+7³]÷[5+7]+[5×7]=5²+7²
[125+343]÷12+35=25+49
39+35=25+49
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以后遇到这类问题
a+b=n
a³+b³=m
求a²+b²的值
就可以用这个我总结出来的公式
[a³+b³]÷[a+b]+[a×b]=a²+b²

后记：
在列 [a³+b³]÷[a+b]   十   [a×b]式中，我把其中的加号  十，打成×号。结果大相径庭。反复仔细检查后，才找到原因。因为有具体的正整数可以验算结果，才能发现错误。