文理通，文序顺，文体齐，文韵谐的诗经作品

缙云王旭龙

又是百度题
数字3025有什么特殊？两数平方和是3025，两数和是多少？
我先给出答案：两数和是77。一个平方数1089，另一个平方数1936。
1089+1936=3025。
1089=33²，1936=44²。33+44=77
我用罗列法，瞎子爬山法。先找到55²=3025。
证明题目设置没问题，是依据数字变化关系编造的。
下面学习老师讲的知识。
先确定3025是大合数，用短除法推出5，5，11，11，组成5×5，11×11。5²×11²=3025
老师的契机在于，恰遇几何原理5²=3²+4²
【遇到别的数，有这么幸运吗？这是特例。如a²=a+2   =    2²=2+2   】
5×5×11×11
【3²+4²】×11²
3²×11²+4²×11²
【3×11】²+【4×11】²=3025
33²+44²=55²
33+44=77

3²+4²=5²   9+16=25还有这样的组合吗？
有，并且是有规律可找。是我在做百度习题后发现的。
3²+4²=5²   9+16=25
33²+44²=55²  1089+1936=3025
363²+484²=605²    131769+234256=366025
3993²+5324²=6655²  15944049+28344976=44289025
3×11=33，33×11=363，363×11=1993，，，，，×11
4×11=44，44×11=484，484×11=5324，，，，，×11
5×11=55，55×11=605，605×11=6655，，，，，×11
11是勾3，股4，弦5，三者关系中的升倍数。

缙云王旭龙

几天来的学习思考中，接触了小²+中²=大²类型的数组。
小²+中²=大²【a×a+b×b=c×c】
勾3²+股4²=弦5²。
自然整数里，还有哪些同类组合，怎么找？
昨天夜里想：既然3，4，5三个数各乘以11，以及11的倍数后的数组，仍然保持a×a+b×b=c×c数组形式，
那么a×a+b×b=c×c中的a，b，c 即小，中，大三数的任意相同倍值，仍然保持a×a+b×b=c×c数组形式。
a×a+b×b=c×c【a,b,c三数的属性：奇数，偶数，奇数】
3×1，4×1，5×1【3×3+4×4=5×5】9+16=25
3×2，4×2，5×2【6×6+8×8=10×10】36+64=100【公约数3，4，5】
3×3，4×3，5×3【9×9+12×12=15×15】81+144=225
3×4，4×4，5×4【12×12+16×16=20×20】144+256=400【公约数3，4，5】
3×5，4×5，5×5【15×15+20×20=25×25】225+400=625
，，，，，，，，，
【根据数首法则】，可以确定这种关系。

在前面遇到题目中，有一个是：15²+[  ]²=113²
老师的分析中，有15²=225，[225-1]÷2=[112 ]，[225+1]÷2=[113 ]
15²+112²=113²
225+12544=12769
从这个题目中，我又看出【15²+112²=113²】与【3²+4²=5²】的关系。
【15²+112²=113²】就是从【3²+4²=5²】发展过来的。
可以看出【3²+4²=5²】与【15²+112²=113²】二者间有相同之处
4与5，112与113，4+1=5，5-1=4。112+1=113，113-1=112
大于1的奇数，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，，，，，，，，，，，，，
以及其平方值也都能分解成大小差1的两个数。
就有了：
【3²+4²=5²】【3²=9，9=4+5】
【5²+12²=13²】【5²=25，25=12+13】
【7²+24²=25²】【7²=49，49=24+25】
【9²+40²=41²】【9²=81，81=40+41】
【11²+60²=61²】【11²=121，121=60+61】
【13²+84²=85²】【13²=169，169=84+85】
，，，，，，，，，，，，，，，，，
因为，相邻两个自然数的平方差，是前数×2+1.
84²与85²的差，7225-7056=169=13²。84×2+1=169=13²

在自然数列里，寻找【a²+b²=c²】性质类型的三数组的方法就有了。

以大于1的奇数²值-1后除2=中间的偶数；
以大于1的奇数²值+1后除2=后面的奇数，即前奇数+中偶数的和。【这是纵深纵向寻找法】

【a²值+b²值=²值】数组中三值乘以相同的倍数。【这是横向寻找法】

3×3+4×4=5×5【初始关系式】
9+16=25【值检验式】

进行倍值检验
【5²+12²=13²】
5×2，12×2，13×2
10²+24²=26²
100+576=675

5×3，12×3，13×3
15²+36²=39²
225+1296=1521

5×4，12×4，13×4
20²+48²=52²
400+2304=2704

5×5，12×5，  13×5
25²+60²=65²
625+3600=4225
，，，，，，，，

7×7+24×24=25×25
49+576=625
7×2+24×2=25×2
14²+48²=50²
196+2304=2500

7×3+24×3=25×3
21²+72²=75²
441+5184=5625

7×4+24×4=25×4
28²+96²=100²
784+9216=10000
，，，，，，，

纵横交织的经纬网，把整数数列中符合a×a+b×b=c×c等式的三值数组，就揭示出来了。
纵向顺3，5，7，9，11，13，15，，，，，，，依次发展
横向朝2，3，4，5，6，7，8，9，10，，，，，同倍发展

缙云王旭龙

自然数列里a²+b²=c²数组的分布规律：

a²+b²=c²   3²+4²=5²    9+16=25

除此之外，还有很多满足a²+b²=c²的数组。经过昨天一天的挖掘，它们的分布规律被我搞出来了。

横向扩展 3²+4²=5²。即3，4，5各乘以相同的倍数

3×1，4×1，5×1。3²+4²=5²。9+16=25

3×2，4×2，5×2。6²+8²=10²。36+64=100

3×3，4×3，5×3。9²+12²=15²。81+144=225

3×4，4×4，5×4。12²+16²=20²。144+256=400

3×5，4×5，5×5。15²+20²=25²。225+400=625

3×6，4×6，5×6。18²+24²=30²。324+576=900

，，，，，，，，，，，，，，，

普适的通用公式：[n3]²+[n4]²=[n5]²



纵向推进，对象是大于2的奇数：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，，，，，，分别以这些奇数为基数。

3²+4²=5²，3²=9，9可以分成4与5，大小之差为1的两数。9+16=25

5²=25，25=12+13，5²+12²=13²    25+144=169



3²+4²=5²，    9+16=25       【然后同倍扩展 [n3]²+[n4]²=[n5]²】

5²+12²=13²    25+144=169【然后同倍扩展 [n5]²+[n12]²=[n13]²】

7²+24²=25²   49+576=625  【然后同倍扩展 [n7]²+[n24]²=[n25]²】





3²+4²=5²

5²+12²=13²

7²+24²=25²

9²+40²=41²

11²+60²=61²

，，，，，，，，

n²+[n²÷2-0.5]²=[n²÷2+0.5]²【向大奇数方向探寻的纵向公式】【n表示大于2的奇数】

[n3]²+[n4]²=[n5]²】【在3²+4²=5²，5²+12²=13² ，7²+24²=25² ，，，因式基础上，进行的同倍扩展 】

缙云王旭龙

n²+[n²÷2-0.5]²=[n²÷2+0.5]²【向大奇数方向探寻的纵向公式】【n表示大于2的奇数】
[n3]²+[n4]²=[n5]²】【在3²+4²=5²，5²+12²=13² ，7²+24²=25² ，，，因式基础上，进行的同倍扩展 】

早上醒来想，昨天写的两个公式，应该可以综合成一个。
n²+[n²÷2-0.5]²=[n²÷2+0.5]²  把这个式子里的n，换用a。【a：2的奇数：3，5，7，9，，，】
就是：
a²+[a²÷2-0.5]²=[a²÷2+0.5]²

综合后的公式：
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
验算：a=3，n=1
【3×1】²+【[3²÷2-0.5]×1】²=【[3²÷2+0.5]×1】²
【3×1】²+【4×1】²=【5×1】²
3²+4²=5²
9+16=25

再验算a=3，n=2
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【3×2】²+【[3²÷2 - 0.5]2】²=【[3²÷2+0.5]2】²
【3×2】²+【4×2】²=【5×2】²
6²+8²=10²
36+64=100

再验算a=3，n=3
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【3×3】²+【[3²÷2 - 0.5]3】²=【[3²÷2+0.5]3】²
【3×3】²+【4×3】²=【5×3】²
9²+12²=15²
81+144=225

再验算a=5，n=1
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【5×1】²+【[5²÷2 - 0.5]1】²=【[5²÷2+0.5]1】²
【5×1】²+【12×1】²=【13×1】²
5²+12²=13²
25+144=169

再验算a=5，n=2
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【5×2】²+【[5²÷2 - 0.5]2】²=【[5²÷2+0.5]2】²
【5×2】²+【12×2】²=【13×2】²
10²+24²=26²
100+576=676

再验算a=7，n=2
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【7×2】²+【[7²÷2 - 0.5]2】²=【[7²÷2+0.5]2】²
【7×2】²+【24×2】²=【25×2】²
14²+48²=50²
196+2304=2500

再验算a=9，n=4
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【9×4】²+【[9²÷2 - 0.5]4】²=【[9²÷2+0.5]4】²
【9×4】²+【40×4】²=【41×4】²
36²+160²=164²
1296+25600=26896

缙云王旭龙

相邻两个奇数，或相邻两个偶数的3次幂值之差，即两数中间的那个偶数，或中间的那个奇数的2次幂值的6倍再加2

4³+[5²×6+2]=6³
64+152=216

5³+[6²×6+2]=7³
125+218=343

n³+6[n+1]²+2=[n+2]³【中间数与相邻两数的3次幂值关系】
6[n+1]²+2
这样相邻两个奇数，或相邻两个偶数的3次幂值之差的求差公式，又多了一个。
【1】[n+2]×[n+1]×4+n²×2【立方体四面卷包，两面填塞】
【2】6n²+12n+8【六个本面增，12条本棱增，8个顶角增】
【3】[n+1]²×6+2【六个增面，两个顶角增
【4】【[n+1]²×3+1】×2【两斗合】
【5】6[n+1]²+2【中间数与两数关系】

n=3.   n+2=5。3³=27，5³=125。125-27=98。3³与5³之差，均以98验算
【1】[n+2]×[n+1]×4+n²×2
[3+2]×[3+1]×4+3²×2
5×4×4+9×2
80+18=98

【2】6n²+12n+8
6×3²+12×3+8
6×9+36+8=98

【3】[n+1]²×6+2
[3+1]²×6+2
[4²×6+2
96+2=98

【4】【[n+1]²×3+1】×2
【[3+1]²×3+1】×2
【4²×3+1】×2
【16×3+1】×2】
【48+1】×2=98

【5】6[n+1]²+2【n=3,  n+1=4,  n+2=5】
6[3+1]²+2=6×4²+2
6×16+2
96+2=98

忙乎了大半天，【3】[n+1]²×6+2  ，    与【5】6[n+1]²+2，相同。去。瞎扳。

缙云王旭龙

四个不同数之和的二次幂值与四个不同数的二次幂值之和的关系
[a+b+c+d]²=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
[a+b+c+d]² - 【a²+b²+c²+d²】=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
眼睛要看花。

  a，    b，    c，d。【将每个字母依次与后面的字母相乘一次】
2ab，2bc，2cd
2ac，2bd，
2ad，

a，    b，     c，   d，e。【将每个字母依次与后面的字母相乘一次】
2ab，2bc，2cd，2de
2ac，2bd，2ce，
2ad，2be,
2ae

a，     b，     c，    d，  e，f。【将每个字母依次与后面的字母相乘一次】
2ab，2bc，2cd，2de，2ef
2ac，2bd，2ce，2df，
2ad，2be，2cf，
2ae，2bf，
2af，

a，    b，    c，   d，   e，    f，g。【将每个字母依次与后面的字母相乘一次】
2ab，2bc，2cd，2de，2ef，2fg
2ac，2bd，2ce，2df，2eg，
2ad，2be，2cf，2dg，
2ae，2bf，2cg，
2af，2bg，
2ag，

就不会有遗漏或重复。

缙云王旭龙

早上出去郊游，带上了本子与笔，骑脚踏车上想问题，想好就停车记在本子上。
一个数的3次幂值与2次幂值的关系：
数³-数²=数²×【数-1】
5³-5²=5²×【5-1】
125-25=25×4
100=100

数³-数²×【数-1】=数²
125-25×4=25
125-100=25

数³与数²的关系写了，再写数²与数的关系
数²-数=数×【数-1】
25-5=5×【5-1】
20=5×4=20

有了上面两式，就可以综合出数³-数的式子。
数³-数=数²×【数-1】+数×【数-1】
5³-5=5²×【5-1】+5×【5-1】
5³-5=5²×4+5×4
125-5=25×4+5×4
120=100+20=120

数³-【数²×[数-1]】+数×[数-1]】=数
125-【25×4+5×4】=5
125-【100+20】=5
125-120=5

a³-a²=a²×[a-1]
a³-a²×[a-1]=a²

a²-a=a×[a-1]
a²-a×[a-1]=a

a³-a=a²×[a-1]+a×[a-1]
a³-【a²×[a-1]+a×[a-1]】=a

缙云王旭龙

两数和的3次幂值与两数3次幂值之和的关系
【大数+小数】³=【大数³+小数³】+大数²×小数×3+小数²×大数×3
【甲+乙】³=【甲³+乙³】+甲²×乙×3+乙²×甲×3
【m+n】³=【m³+n³】+m²×n×3+n²×m×3
【a+b】³=【a³+b³】+a²×b×3+b²×a×3

代入数字验算：a=8   b=5
【8+5】³=【8³+5³】+8²×5×3+5²×8×3
13³=【8³+5³】+8²×5×3+5²×8×3
2197=【512+125】+64×5×3+25×8×3
2197=637+960+600
2197=637+1560
=2197


【a+b】³  - 【 a³+b³】的差=【a²×b】的3倍+【b²×a】的3倍
[a+b]³  -  [ a³+b³]=  [ a²×b]×3  +   [b²×a]×3

缙云王旭龙

早上突然想起，小学一二年级时，有个同桌同学叫【王方方】，难道是宿命，老来要跟平方，立方问题纠结。

【武汉市中考题】有求：a三-b三的值的问题。
早上出去骑车，想好了，笔却干了，写不下来，赶紧回家整理公式。
之前已经写过：相邻两个整数，相邻两个奇数，相邻两个偶数的3次幂值之差的公式。由于奇数，偶数的立方体思考是以六面包围来进行的，不能用。只能从相邻两个整数的【三面兜+补角】的方式进行考虑。
写出：a×b×[a-b]×3+[a-b]³
设a=7，b=3。7³=343，3³=27，求343-27=316，
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
7×3×[7-3]×3+[7-3]³
21×4×3+4³
84×3+64
252+64
316

不论a，b两数悬殊多大。
设a=10 ，b=1。10³=1000，b³=1，10³-1³=999
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
10×1×[10-1]×3+[10-1]³
10×9×3+9³
270+729=999

设a=2 ，b=1。a³=8，b³=1。8-1=7
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
2×1×[2-1]×3+[2-1]³
6+1=7

a³- b³=
a×b×[a-b]×3+[a-b]³

缙云王旭龙

大数²-小数²=  [大-小]×小×2+[大-小]²
大数=9，小数=3。9²=81，3²=9，81-9=72
9²-3²=[9-3]×3×2+[9-3]²
81-9=6×3×2+6²
72=36+36=72


a=21，b=4
21²-4²=[21-4]×4×2+[21-4]²
441-16=17×4×2+17²
425=136+289=425

a=32，b=14
32²-14²=[32-14]×14×2+[32-14]²
1024-196=18×14×2+18²
828=504+324=828

一个大数，减去一个小点的数的2次幂值=两数的差与小数相乘之积的二倍+两数差的2次幂值。
a²-b²=[a-b]×b×2+[a-b]²

适用于任意大小悬殊的两数2次幂值之差的求差公式。这也是普适公式。
a²-b²=[a-b]×a+[a-b]×b【这是另一种算法公式】
a=9,b=5
9²-5²=[9-5]×9+[9-5]×5
81-25=36+20
56=56